带记忆项的热传导方程有限元方法

文献综述

一：内容摘要

热传导方程是一个重要的偏微分方程，非常重要的一类数学物理方程，它是描述一个区域里的温度如何随时间变化的方程，它相对于波动方程而言，有着不同的物理背景。本文通过使用有限元方法进行网格剖分，结合matlab实现算例的图形化、具体化。

二：关键词

抛物型积分微分方程，有限元，误差估计，matlab

三：正文

1. 热传导方程的背景及应用

著名学者约瑟夫·傅里叶在1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程 ，在数学学术界开启了一系列关于求解热传导方程的数学狂潮。究其本质，热传导方程就是一类偏微分方程，是二阶线性偏微分方程中抛物线性的经典代表。热传导方程涉及的大量问题来自于物理、化学、生态、生物等领域的数学模型，具有强烈的实际背景；另一方面，在热传导方程的理论研究中，也给数学家们提出了许多挑战性的问题。关于非线性抛物方程的整体解与爆破等问题的研究已成为非线性抛物方程理论研究中的一个重要方向。在过去的几十年里，热传导方程的整体解和爆破现象被很多作者研究过，得出了许多有意义的结果。

1. 有限元方法

在求解热传导方程的诸多途径里，有限元方法是一种尤为重要的方法。有限元方法起源于20世纪50年代末兴起的应用数学、现代力学及计算机科学的相互渗透。其基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一个单元假定一个合适的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的近似解。在建立过程初期，由于其工程局限性而被众多学者忽视，在计算机软件技术的飞速发展中，其独特的可以用任意网格切分区域和根据场函数的需要灵活的布置节点等优良性质，在数学理论界和计算机科学界得到了更多的重视，越来越多的学者参与到了有限元方法的发展中来。目前，有限元法不仅有效的解决求解不依赖于时间的偏微分方程的边值问题，而且在求解抛物线和双曲型方程等依赖于时间的偏微分方程方面也取得了显著的成效。在线性椭圆形方程有限元方法和抛物型有限元方法平面，都建立了相当完善的数学理论。在二阶双曲和Schrodinger方程有限元法研究都达到了较深的程度。相较于其他数值方法，因其概念浅显易被掌握、强适用性、便于计算机软件的编写的优点，现已成为解决科学和工程问题最有效的数值方法。