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文献综述

数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。二阶振荡常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。在纯粹数学与应用数学,以及力学,物理学,天文学,分子生物学等应用科学中常常存在振荡现象。针对这些振荡现象的建模与仿真人们已经做了大量的理论和数值的研究。典型的研究对象是如下二阶振荡系统的数值积分，其中∈Rdxd是对称半正定的矩阵,隐含了该问题的频率。尽管人们已经提出了各种可行的算法并付诸应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。而本文正是在这一背景下对于二阶振荡常微分方程的解法和应用做出研究。在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是常见的。本课题着重讨论二阶振荡常微分方程初值问题的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，其基本思想是完全一样的，解初值问题有多种解析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。初值问题的数值解法，就是寻求方程的解在自变量x的一系列离散节点上的近似值。

一、首先，先对一阶常微分方程=的数值解法做出介绍。

求：精确解在节点

相邻两节点间的距离称为步长。在实际计算上，通常采用相等的步长，这时等距节点．

初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的求出。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。

将微分方程两端从到积分，得

（n=0,1,2，）

这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解，利用各种求积公式

可以得到一些求的近似公式。