- 选题背景和意义：
贝叶斯反问题在国防军工等重大工程项目中有着重要的应用价值。反问题普遍存在于技术邻域,其研究有极大的发展空间及应用前景。在实际的数学、物理背景下,当所需的参数、算子、初始条件、边界条件等有关数据未知时,可通过求解空间内的己知观测数据来反解模型中的不确定参数值。
反问题常常伴随着非线性、不适定性等问题。随着对反问题的不断研究，已经有很多求解经典反问题的方法，然而这些方法研究的出发点是所知的测量误差很小可以忽略不计或者测量误差的性质是己知的。然而在实际问题的处理中，测量误差的基本上是未知的而且较小的误差都可能导致错误的结果．例如，在有些经典文献中，误差范数被视为一个确定的值。从实际应用上可以看出应该把误差视为一个均值已知的随机变量。
因此，在实际生活问题中,测量误差存在且不可忽略,使传统算法无法得到精确的解值。所以如何选择合适的先验估计对反演结果起着重要的作用。本课题将基于半变异函数方法来选择贝叶斯分层模型中的超参数，进而研究对反演结果的影响。
- 课题关键问题及难点：
（1）系统自学偏微分方程数值解以及贝叶斯相关理论以及反问题；
（2）学习熟练运用matlab语言编程；
（3）对贝叶斯推断进行优化，并编程实现；
（4）结合半变异函数方法选择贝叶斯分层模型中超参数。
难点: 虽然目前已经具有了一定计算的基础。但在本科阶段没有系统的学习PDE数值解等内容，需要进行自学贝叶斯理论以及反问题，具有一定的困难，需要花费大量时间完成前期知识准备，并且如何基于半变异函数方法选择超参数也需要导师的指导。
- 文献综述（或调研报告）：
U. Khristenko在论文Analysis of Boundary Effects on PDE-Based Sampling of Whittle-Matern Random Fields考虑了具有马特恩协方差函数的平均值为零的高斯随机场的样本生成。每一个样本都需要解一个在有界计算域上具有高斯白噪声强迫的微分方程。由于随机偏微分方程最初是在整个空间上建立的，没有边界条件，这就引入了不需要的边界效应。我们使用窗口技术，将计算域嵌入到一个更大的域中，并在扩展域上假设方便的边界条件。为了减少来自边界的污染，在数值研究中建议选择一个窗口大小至少与马特恩场的相关长度一样大。对于齐次狄里克雷、齐次诺依曼和周期边界条件，我们对域截断引入的协方差误差进行了严格的分析。我们证明误差在窗口大小上呈指数衰减，与边界条件的类型无关。我们在一维和二维空间进行了数值实验，证实了我们的理论结果。
M. J. Khaledi在论文Empirical Bayes spatial prediction using a Monte Carlo EM algorithm讨论了高斯随机场空间预测的经验贝叶斯方法。实际上，我们用极大似然法估计先验分布的超参数。为了使数据的边际分布最大化，采用了EM算法。由于该算法需要对解析困难的高维积分进行计算，提出了一种基于离散参数空间的蒙特卡罗方法来估计相关积分。然后，以空间数据集为例说明了该方法的应用。最后，我们将该方法与参考先验方法的预测性能进行了比较。
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